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Formel für den Sonnenauf- und untergang

Um den genauen Sonnenauf- und untergang exakt zu berechnen, sind sehr viele Faktoren zu berücksichtigen. Aber wenn eine Genauigkeit von +/- 5 Minuten ausreicht sind die Berechnungsansätze in drei Punkten wie folgt zu vereinfachen.

1. Die Zeitgleichung.
Die Zeitdifferenz zwischen zwei Mittagen beträgt exakt 24 Stunden. So sollte es sein. Tatsächlich schwankt die Tageslänge je nach Jahreszeit um bis zu 15 Minuten. Dieses ist auch für die Berechnung des Sonnenauf- und unterganges relevant. Durch zwei sich überlagernde Sinusschwingungen läßt sich dieses berücksichtigen. Die sogenannte Zeitgleichung.

tatsächliche Ortszeit – Mittlerer Ortszeit =
-0.171*sin(0.0337 * Tg_im_Jahr + 0.465) – 0.1299*sin(0.01787 * Tg_im_Jahr – 0.168)

Dieser Effekt führt übrigens dazu, daß der kürzeste Tag im Jahr nicht der 21. Dezember ist, sondern erst der 29. Dezember.

2. Deklination der Sonne.
Mit der Zeitgleichung wissen wir wann die Sonne am höchsten steht. Jetzt müssen wir noch ermitteln, wie lange die Sonne über dem Horizont bleibt. Dazu brauchen wir die Deklination der Sonne. Dieses stellt übers Jahr ebenfalls eine einfache Sinusschwingung dar. Hierbei wird in erster Näherung davon ausgegangen, daß die Erde eine Kugel ist. Wir berechnen wie folgt:

Deklination = 0.4095*sin(0.016906*(T-80.086))

3. Auf- und Untergang
Jetzt muß nur noch die Zeit ermittelt werden, die vergeht, bis die Sonne hinter dem Horizont verschwindet. Dabei ist zu berücksichtigen, daß aufgrund der Lichtbeugung in der Atmosphäre die Sonne noch sichtbar ist, wenn sie geometisch bereits hinter dem Horizont verschwunden sein müßte. Hierzu werden von der geometischen Horizonthöhe 50 Bogenminuten abgezogen.
Die Formel lautet dann wie folgt:

Zeitdifferenz = 12*arccos((sin(h) – sin(B)*sin(Deklination)) / (cos(B)*cos(Deklination)))/pi;